澳门大赌场娱乐场官网 88
学前教育

【正规网投平台有哪些】矩阵的相似对角化是考研的重要考点,线性代数怎么复习

考研数学中,矩阵相似对角化是一大考点,这个考点题目有什么解题技巧吗?下面小编带你看答案。

考研复习笔记-线性代数

作者 创建时间 复习1 复习2 复习3 复习4 林加贤 2015-08-31

复习时修改笔记,并添加相应考题类型

考研数学考查不同种类的数学,其中包括线性代数。那么,线性代数应该如何复习呢?接下来小编为你解答。

2018考研数学:矩阵相似对角化有什么解题技巧?

考纲

行列式

矩阵

  • 特征值和特征向量

向量组

澳门大赌场下载,线性方程组

二次型


2018年考研数学:线性代数怎么复习?

考研数学的冲刺复习,需要不断回顾课本、复习错题,对重要知识点需要一再巩固,今天为大家整理了考研数学必看考点:矩阵相似对角化要点及技巧,希望可以帮到你。

行列式

定义

  • 澳门大赌场娱乐场官网 1%5Et%20a_%7B1p1%7Da%7B2p2%7D%20%5Ccdots%20a%7Bnp_n%7D%7D)
  • t为逆序数(怎么求解逆序数

性质

  • 何为对换,对换性质
  • 转置相等
  • 互换变号
  • 网赌app下载,相等为零
  • 因子可提
  • 比例为零
  • 澳门大赌场手机版,元素可拆
  • 比例相加不变
  • 强调部分为行列式三种基本运算

展开定理

  • 澳门大赌场娱乐场官网 2
    澳门大赌场娱乐场官网 3
  • 余子式、代数余子式概念

特殊行列式

  • 对角行列式
  • 上(下)三角行列式
  • 上(下)分块行列式
  • 范徳蒙徳行列式
    澳门大赌场娱乐场官网 4)
  • 澳门网上赌彩网址大全,雅可比行列式

在考研复习过程中,数学始终是*难应对的一科。但从实际上来讲,只要大家掌握好复习方法,认真复习,考研数学也并不是那么难。在下面,为考生们介绍几点考研数学中线性代数的复习方法。

矩阵的相似对角化是考研的重要考点,该部分内容既可以出大题,也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化,现把该部分的知识点总结如下:

正规网投平台有哪些,矩阵

定义:m*n数表

  • 澳门大赌场娱乐场官网 5
  • 方阵,n*n数表

运算

  • 加法和数乘
  • 矩阵相乘、幂
    • 澳门大赌场娱乐场官网 6
    • 不满足交换律
  • 最新赌博app下载,矩阵转置
    • 澳门大赌场娱乐场官网 7%5ET%3DA%3B~(A%2BB)%5ET%3DA%5ET%2BB%5ET%3B~(%5Clambda%20A)%5ET%3D%5Clambda%20A%5ET%3B~%20(AB)%5ET%3DB%5ETA%5ET)
  • 方阵行列式
    • 澳门大赌场娱乐场官网 8
  • 方阵伴随矩阵
    • 澳门大赌场娱乐场官网 9
    • 澳门大赌场娱乐场官网 10

逆矩阵

  • 定义:澳门大赌场娱乐场官网 11
  • 全球网赌十大平台,定理
    • A可逆 澳门大赌场娱乐场官网 12
    • AB=E 或 澳门大赌场娱乐场官网 13

性质

  • 澳门大赌场娱乐场官网 14;
  • 澳门大赌场娱乐场官网 15%5E%7B-1%7D%3DA%3B~%0A(%5Clambda%20A)%5E%7B-1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7DA%5E%7B-1%7D%3B~%0A(AB)%5E%7B-1%7D%3DB%5E%7B-1%7DA%5E%7B-1%7D%3B~%0A(A%5ET)%5E%7B-1%7D%3D(A%5E%7B_1%7D)%5ET)

分块矩阵

  • 分块矩阵加法、乘法
  • 分块对角矩阵
    • 行列式
    • 澳门大赌场娱乐场官网,逆矩阵
  • 按行分块,按列分块

等价矩阵

  • 初等行变换(列同)
    • 澳门大赌场娱乐场官网 16
  • 矩阵等价
    • 定义(初等变换)与性质(反身、对称、传递)
    • 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形
  • 定理
    • 澳门大赌场娱乐场官网 17%2CPA%3DB)
    • 澳门大赌场娱乐场官网 18网上哪里赌博比较正规, (可逆),
      澳门大赌场娱乐场官网 19
    • A可逆
      澳门大赌场娱乐场官网 20初等变换求逆矩阵

矩阵的秩

  • 网赌登录网址,定义:k阶子式,最高阶非零子式
  • 性质
    • 澳门大赌场娱乐场官网 21%5Cleq%20%5Cmin%5C%7Bm%2Cn%5C%7D)
      • 澳门大赌场娱乐场官网 22%3DR(A))
      • 澳门大赌场娱乐场官网 23%3DR(B))初等变换求秩
      • 澳门大赌场娱乐场官网 24%2CR(B)%5C%7D%5Cleq%20R(A%2CB)%5Cleq%20R(A)%2BR(B))
      • 澳门大赌场娱乐场官网 25%5Cleq%20R(A%2Cb)%5Cleq%20R(A)%2B1)
      • 澳门大赌场娱乐场官网 26%5Cleq%20R(A)%2BR(B))
      • 澳门大赌场娱乐场官网 27%5Cleq%20%5Cmin%5C%7BR(A)%2CR(B)%5C%7D)
      • 澳门大赌场娱乐场官网 28%2BR(B)%5Cleq%20n)

方阵的特征值和特征向量

  • 定义:澳门大赌场娱乐场官网 29 为特征向量,
    澳门大赌场娱乐场官网 30 为特征值
  • 性质定理
    • 澳门大赌场娱乐场官网 31
    • 澳门大赌场娱乐场官网 32
    • 澳门大赌场娱乐场官网 33 为A特征值,则
      澳门大赌场娱乐场官网 34) 为
      澳门大赌场娱乐场官网 35) 特征值

      • 澳门大赌场娱乐场官网 36 各不相同,则
        澳门大赌场娱乐场官网 37 线性无关$
  • 相似变换
    • 定义:澳门大赌场娱乐场官网 38,相似矩阵,相似变换矩阵
      • 定理:相似则特征多项式、特征值相同
  • 对角化(相似变换成对角矩阵)
    • 可对角化充要条件:A存在n个线性无关特征向量
    • 可对角化充分条件:A存在n个不同的特征值
      • 对称矩阵对角化
        1. 求对称矩阵特征值澳门大赌场娱乐场官网 39,重数为澳门大赌场娱乐场官网 40
        2. 对每个澳门大赌场娱乐场官网 41x%3D0)基础解系,的澳门大赌场娱乐场官网 42个线性无关特征向量;
        3. 施密特正交化,构成正交矩阵P(P列向量与澳门大赌场娱乐场官网 43对角元素相对应)。

特殊矩阵(及相应线性变换)

  • 单位矩阵澳门大赌场娱乐场官网 44)
  • 对角矩阵澳门大赌场娱乐场官网 45)
    • 澳门大赌场娱乐场官网 46)
    • 澳门大赌场娱乐场官网 47%5ET%3D(%5Clambda_1a_1%2C%5Clambda_2a_2%2C%5Ccdots%2C%20%5Clambda_na_n)%5ET)
      • 澳门大赌场娱乐场官网 48*%5CLambda%3D(%5Clambda_1a_1%2C%5Clambda_2a_2%2C%5Ccdots%2C%20%5Clambda_na_n))
    • 对角矩阵特征值为对角元素
  • 对称矩阵澳门大赌场娱乐场官网 49
    • 澳门大赌场娱乐场官网 50
    • 澳门大赌场娱乐场官网 51
  • 正交矩阵澳门大赌场娱乐场官网 52
    • 充要条件:列向量都是单位向量且两两正交
      • 正交变换:长度保持不变

线性代数一共六章的内容。

★一般方阵的相似对角化理论

向量

内积

  • 定义:澳门大赌场娱乐场官网 53
  • 性质
  • 澳门大赌场娱乐场官网 54
  • 施瓦茨不等式:澳门大赌场娱乐场官网 55

长度

  • 定义:澳门大赌场娱乐场官网 56
  • 性质:澳门大赌场娱乐场官网 57

夹角 澳门大赌场娱乐场官网 58

正交澳门大赌场娱乐场官网 59

其中**章行列式,它在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题和选择题为主,但它是必考内容,即便没有单*考查的题目,也会在其它的试题中给以考查,如求特征值就是计算相应的行列式。

这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,会判断给定的矩阵是否可以相似对角化,另外还要会矩阵相似对角化的计算问题,会求可逆阵以及对角阵。事实上,矩阵相似对角化之后还有一些应用,主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上,这些应用在历年真题中都有不同的体现。

向量组

  1. 定义:澳门大赌场娱乐场官网 60)
  2. 线性表示
    • 向量线性表示:澳门大赌场娱乐场官网 61
      A的线性组合

      • 充要条件:澳门大赌场娱乐场官网 62%3DR(A%2Cb))
    • 向量组线性表示:B的列向量澳门大赌场娱乐场官网 63能由A线性表示
      • 充要条件:澳门大赌场娱乐场官网 64%3DR(A%2CB))
      • A线性表示B 澳门大赌场娱乐场官网 65%5Cleq%20R(A))
    • 向量组等价
      • 定义:相互线性表示
      • 充要条件:澳门大赌场娱乐场官网 66%3DR(B)%3DR(A%2CB))
  3. 线性相关性
    • 定义:
      • 线性相关:澳门大赌场娱乐场官网 67
        不全为零的 澳门大赌场娱乐场官网 68 使
        澳门大赌场娱乐场官网 69

        • 充要条件:$R(A)
    • 线性无关:不存在不全为零的
      澳门大赌场娱乐场官网 70 使
      澳门大赌场娱乐场官网 71

      • 充要条件:澳门大赌场娱乐场官网 72%3Dm)
    • 定理
      • A线性相关,则B=(A,b)也线性相关;B线性无关,则A也线性无关;
  4. 向量组的秩
    • 定义:最大线性无关向量组
    • 定理
      • 向量组的秩等于矩阵的秩
        • 最大线性无关组等价定义
  5. 向量组正交性
    • 两两正交
    • 两两正交且非零,则线性无关
  6. 向量空间
    • 定义:加法、数乘封闭的向量集合
    • 基:相当于向量组最大无关向量组
      • 基变换公式,过度矩阵
      • 规范正交基:两两正交且为单位向量
      • 施密特正交化
        • 正交化:澳门大赌场娱乐场官网 73
        • 单位化:澳门大赌场娱乐场官网 74
    • 维:相当于向量组的秩

行列式的**内容是掌握计算行列式的方法,同学们要掌握降阶法求行列式,以及其它的像爪型、三对角、范德蒙、行和或列和相等的行列式的求法。矩阵是后面各章节的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始末。这部分考点较多,像逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵、矩阵的幂、矩阵的行列式等概念的定义、性质、运算等等是每年考研的**内容,同学们在复习的时候一定要注意归纳总结才可能掌握好。向量组的线性相关性是线性代数的**也是考研的难点,大家复习的时候一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定方法并能灵活应用,还要弄清楚线性表出、向量组的秩及线性方程组等之间的联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解。

1、判断方阵是否可相似对角化的条件:

线性方程组

  1. 克拉默法则
    • 澳门大赌场娱乐场官网 75 ,有唯一解
      澳门大赌场娱乐场官网 76
  2. 澳门大赌场娱乐场官网 77
    • 无解:$R(A)
    • 唯一解:澳门大赌场娱乐场官网 78%3DR(A%2Cb)%3Dn)
    • 无限多解:$r=R(A)=R(A,b)
  3. 矩阵方程澳门大赌场娱乐场官网 79
    • 有解充要条件:澳门大赌场娱乐场官网 80%3DR(A%2CB))
  4. 解的结构
    • 齐次方程组
      • 基础解系:解集的最大无关向量组如何求解基础解系
      • R(A)=r,则解集S的秩Rs=n-r
      • 澳门大赌场娱乐场官网 81
    • 非齐次方程组
      • 澳门大赌场娱乐场官网 82
      • 澳门大赌场娱乐场官网 83

历年考题中,方程组是每年必考的题目,这也是线性代数部分考查的**内容。要掌握齐次和非齐次线性方程组的解的判定定理,能够熟练求解线性方程组。这部分内容是**考查解答题的章节。

充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;

二次型

  1. 定义:二次齐次函数
    • 澳门大赌场娱乐场官网 84%3D%5Csum%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7Da%7Bij%7Dx_ixj(a%7Bij%7D%3Da_%7Bji%7D)%3Dx%5ET%20A%20x(A%E4%B8%BA%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E9%98%B5))二次型与对称矩阵一一对应
    • 标准形:只含平方项
    • 规范形:系数为-1,0,1的标准形
  2. 标准化
    • 合同对角化
      1. 澳门大赌场娱乐场官网 85A正交对角化澳门大赌场娱乐场官网 86
      2. 澳门大赌场娱乐场官网 87 (标准形)
      3. 澳门大赌场娱乐场官网 88%2Cy%3DKz)(规范形)
    • 拉格朗日配方法
      • 有平方项直接配方
      • 无平方项令澳门大赌场娱乐场官网 89构造平方项
  3. 正定二次型
    • 定义:澳门大赌场娱乐场官网 90%3E0)
    • 定理:
      • 正定澳门大赌场娱乐场官网 91惯性指数为n标准化正系数个数不变,称为正惯性指数
      • 正定澳门大赌场娱乐场官网 92特征值全为正
      • 正定澳门大赌场娱乐场官网 93A的各阶主子式全为正

特征值和特征向量也是考研的**内容之一,题多分值大,共有三部分内容:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相对而言,这部分计算量是比较大的,复习的时候一定要加强练习。由于二次型与它的实对称矩阵是一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题,只要正确写出二次型所对应的实对称矩阵,就可以利用相似对角化的方法解决二次型的问题了。解线性方程组和矩阵相似对角化是每年两道大题*容易考查的地方。

充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;

从历年真题上就可以看出,对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的**,真题中所谓的难题也都是在基础概念、基本性质及基本方法上进行加深的,很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固,理解不够透彻,导致许多不应该失分的现象,这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。所以,考生在复习中一定要重视基本概念、基本性质和基本方法的理解与掌握,多做一些基本题来巩固基础知识。

充分条件:如果An是实对称矩阵,那么An一定可以相似对角化。

对于线性代数中的基本运算,行列式的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关性的判定,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量,判断矩阵是否可以相似对角化,求相似对角矩阵,用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵,用正交变换化二次型为标准形等等。一定要注意总结这些基本运算的运算方法。例如,复习行列式的计算时,就要将各种类型的行列式计算方法掌握清楚,如,行和相等型、爪型、三对角线型,范德蒙行列式等等。

分析方阵是否可以相似对角化,关键是看线性无关的特征向量的个数,而求特征向量之前,必须先求出特征值。

大家复习时一定要注重知识点的衔接与转换,不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。比如,在复习过程中,我们可以以方程组解的讨论为复习主线,弄清楚它与行列式、向量、矩阵、特征值与特征向量之间有什么样的关系,掌握他们之间的联系与区别,对线性代数整个知识框架的理解有很大帮助,同时在解题思路和方法上也会有很大的帮助。

这里的难点在于特征行列式的计算:方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0,然后利用行列式的展开定理计算;

在线性代数的两个大题中,基本上都是多个知识点的综合。从而达到对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考核。因此,在打好基础的同时,通过做一些综合性较强的习题,边做边总结,以加深对概念、性质内涵的理解和应用方法的掌握。

抽象矩阵的特征值,往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求,灵活性较大。

在做题过程中,大家一定要注意以下两点:一是多动笔,数学复习*忌讳光看不练,尤其是线性代数,它的计算量比较大,很多同学考试时因为计算性的错误丢分是很常见的,所以多做练习对于巩固知识点、提高计算能力都有很大帮助;二是多总结,平时在做题的过程中需要注意总结一些解题思路,哪种类型的题需要用什么思路,解题过程中容易出错的地方在哪里,这样经过一段时间训练后,在正式考试中看到相似题型后可以迅速确定用哪种解法,大大提高了解题的速度和效率。另外,一个试题可能有多种解法,我们应该力求寻找运算路径短、运算步骤少、运算时间省的解法,以求在考试中争取时间,通过自己的归纳、总结、加深对数学思想方法的理解,从而达到简化运算、提高速度的目的。

★实对称矩阵的相似对角化理论

2018年考研数学:线性代数怎么复习?相信你已经从以上的内容中找到了问题的答案。

其实质还是矩阵的相似对角化问题,与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外,还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,在考试的时候会经常用到这些考点的。

这块的知识出题比较灵活,可直接出题,即给定一个实对称矩阵A,让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的,这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量,从而确定出矩阵A。

*重要的是,掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。

1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

不同特征值的特征向量一定正交

k重特征值一定满足满足n-r由性质可知,实对称矩阵一定可以相似对角化;且有可知,实对称矩阵一定可以正交相似对角化。

2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵

熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是:只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化,不同特征值对应的特征向量一定正交。

3、实对称矩阵的特殊考点:

实对称矩阵一定可以相似对角化,利用这个性质可以得到很多结论,比如:

实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数

这个结论只对实对称矩阵成立,不要错误地使用。

两个实对称矩阵,如果特征值相同,一定相似

同样地,对于一般矩阵,这个结论也是不成立的。

4、实对称矩阵在二次型中的应用

使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。

2018考研数学:矩阵相似对角化有什么解题技巧?相信你已经从以上的内容中找到了问题的答案。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

相关文章